Схемы повторных испытаний бернулли исследовательская работа. Курсовая работа: Повторные и независимые испытания

МОУ « Рудногорская средняя общеобразовательная школа»

Разработка урока по теории вероятностей

в 10 классе

по теме

« Независимые повторные испытания.

Теорема Бернулли »

Учитель математики

МОУ «Рудногорская сош»

Чибышева И.А.

«…Случайность главным образом

зависит от нашего знания…»

Якоб Бернулли

Тема « »

Класс:10

Цели урока:

Обучающие:

Развивающие:

Воспитательные:

Задачи :

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения: беседа, письменные упражнения.

Оборудование: компьютер, мультимедиапроектор. презентация, раздаточный материал

План урока:

Организационный этап -2 мин

Актуализация опорных знаний – 3 мин

Этап изучения нового материала – 10 мин

Этап обобщения и систематизации знаний -20 мин

Домашняя работа -3 мин

Подведение итога урока- 2 мин

Рефлексия -5 мин.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний

Вспомним основные понятия и формулы комбинаторики.

1. Что называется факториалом числа n? (Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.)
2. Сколькими способами можно расставить4 различные книги на полке? (3! = 3 · 2 · 1. Это число перестановок из 3 элементов.)
3. Сколькими способами можно распределить I, II, III места между 7 участниками соревнования? (7 · 6 · 5 = 210. Это число размещений из 7 элементов по 3.)
4. Сколькими способами можно составить график дежурства 3 учащихся из 5? (это число сочетаний из 5 элементов по 3 и равно 10).

5. Что мы называем вероятностью случайного события?

6. Сформулируйте классическое определение вероятности.

III. Изучение нового материала

При практическом применении теории вероятностей и математической статистики часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует не результат каждого опыта, а общее число появлений события A в серии опытов. Например, совсем недавно в Корее прошел чемпионат мира по биатлону. Спортсмены производили ряд выстрелов по мишеням, и нас, как правило, интересовал не результат каждого отдельного выстрела, а общее число попаданий. При этом результаты предыдущих опытов никак не сказывались на последующих. Такая стандартная схема часто встречается и в самой теории вероятностей. Она называется схемой независимых испытаний или схемой Бернулли . Швейцарский математик XVII в. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную задачу-схему (работа "Искусство предположений" опубликована в 1713 году).

Историческая справка (сообщение о жизни ученого к уроку готовит один из обучающихся):

«Якоб Бернулли (27.12.1654, Базель, – 16.8.1705, там же) – профессор математики Базельского университета (1687) был выходцем из Голландии….. «

Проверка домашнего задания:
1 группа: Вам дома надо было вычислить вероятность выпадения 1 на игральном кубике.
2 группа: Вам дома надо было вычислить вероятность выпадения «орла» при бросании монеты. (Ученики называют результаты, делается вывод о причинах различных ответов, и вывод о том, что чем больше испытаний, тем лучше можно увидеть, к чему стремится результат)
Говоря о частоте и вероятности некоторого случайного события А, мы подразумеваем наличие определенных условий, которые можно неоднократно воспроизводить. Этот комплекс условий мы называем случайным опытом или случайным экспериментом. Отметим, что результат одного опыта никак не зависит от предыдущего. Несколько опытов называются независимыми , если вероятность исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Например, несколько последовательных бросаний монеты – это независимые опыты. Несколько последовательных выниманий шаров из мешка – независимые опыты при условии, что вынутый шар каждый раз возвращается в мешок.. В противном случае – это зависимые опыты. Якоб Бернулли объединил примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему.

Схема Бернулли.

Рассматривают независимые повторения одного и того же испытания с двумя возможными исходами, которые условно называют «успех» и «неудача». Требуется найти вероятность того, что при n таких повторениях произойдет ровно к «успехов».

Учителю следует подчеркнуть еще раз три условия, которым должна удовлетворять схема Бернулли:

1) у каждого испытания должно быть два исхода, называемых «успех» и «неудача»;

2) в каждом опыте вероятность события А должна быть неизменной;

3) результаты опытов должны быть независимыми.

1 V . Закрепление.

1. Устная работа (возможно организовать групповую работу) . Ответы обсуждаются в группах и один представитель озвучивает.

Объясните, почему следующие вопросы укладываются в схему Бернулли. Укажите, в чем состоит «успех» и чему равны n и k .

а) Какова вероятность того, что при 123 бросаниях монеты «решка» выпадет ровно 45 раз?

б) В черном ящике находятся 10 белых, 3 красных и 7 синих шаров. Шары извлекаются, записывается их цвет и возвращаются обратно. Какова вероятность того, что все из 20 извлеченных шаров будут синими?
в) Какова вероятность того, что при ста бросаниях монеты «орел» появится 73 раза?
г) Двадцать раз подряд бросили пару игральных кубиков. Какова вероятность того, что сумма очков ни разу не была равна десяти?
д) Из колоды в 36 карт вытащили три карты, записали результат и возвратили их в колоду, затем карты перемешали. Так повторялось 4 раза. Какова вероятность того, что каждый раз среди вытащенных карт была дама пик?

УЧИТЕЛЬ: Для получения численных значений в таких задачах необходимо заранее знать вероятность «успехов» и «неудач». Обозначив вероятность «успеха» p, а вероятность «неудач» q, где q = 1- p, Бернулли доказал замечательную теорему

2. Самостоятельная работа (возможно организовать групповую работу). Учащимся предлагается 7 задач на решение. В скобках указано количество баллов за задачу. Ребята обсуждают решение в группах. Установка: оценка «5»-17-22 балла, «4»-12- 16 баллов, «3»-6-11 баллов.

1). Какова вероятность того. что при десяти бросках игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза? (2 балла)

2). Какова вероятность того, что при 9 бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза?(2 балла)

3). Остап Бендер играет 8 партий против членов шахматного клуба. Остап играет плохо, поэтому вероятность выигрыша в каждой партии равна 0,01. Найдите вероятность того, что Остап выиграет хотя бы одну партию. (3 балла)

4). Вероятность попадания в мишень одним выстрелом равна 0,125. Какова вероятность того, что из 12 выстрелов не будет ни одного попадания? (3 балла)

5). В части А ЕГЭ по математике в 2005 году было 10 заданий с выбором ответа. К каждому из них предлагалось 4 варианта ответов, из которых только один верный. Для получения положительной отметки на экзамене необходимо ответить минимум на 6 заданий. Какова вероятность того, что нерадивый ученик сдаст экзамен? (4 балла)

6). Бросаем игральную кость. Какова вероятность того, что бросив кость 8 раз, мы выбросим шестерку не менее 4, но не более 6 раз? (4 балла)

7). За один выстрел стрелок поражает мишень с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах он хотя бы раз попадет в мишень. (4 балла)

ОТВЕТЫ: 1) 0,29; 2) 0,246; 3)0,077; 4)0,2 5) 0,016; 6) 0,034; 7) 0,4095;

Если есть время, то работу можно обсудить, если нет, то собрать тетради на проверку.

V. Домашняя работа:

1). Вероятность события А равна 0,3. Какова вероятность того, что в серии из 6 испытаний событие А наступит хотя бы один раз? (4 балла)

2). Саше задали 10 одинаковых по трудности задач. Вероятность того, что он решит задачу равна 0,75. Найдите вероятность того, что Саша решит: а) все задачи;

б) не менее 8 задач; в) не менее 6 задач.

3. Серию испытаний Бернулли проводят дважды. В первый раз вероятность успеха равна ½, во второй раз вероятность успеха 1/3. В каком случае ожидаемый разброс величины S больше, если S число наступивших успехов?

ОТВЕТЫ: 1). 0,882 ; 2) а) 0,056; б) 0,526; в) 0,922.

Индивидуально: презентация материала по теме «Закон больших чисел», доклад на тему «Семейство Бернулли».

V1. Подведение итогов.

Какие ключевые слова урока можно выделить?Объясните их значение.

Какой ключевой факт сегодня изучен?

Что общего и в чем отличие статистики и вероятности?

V11. Рефлексия. На этапе рефлексии учащимся предлагается составить синквейн и в поэтической форме выразить свое отношение к изученном материалу.

Справка: СИНКВЕЙН – приём технологии развития критического мышления, на стадии рефлексии.

Это короткое литературное произведение, характеризующее предмет (тему), состоящее из пяти строк, которое пишется по определённому плану. Слово «синквейн» происходит от французского слова «пять».

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.

Литература

В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. – М.: Наука, 1969.

В.Н. Студинецкая и др. «В мире закономерных случайностей». Волгоград:Учитель, 2007.

Гмурман В. Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.

Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1977.

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988.

Эл. учебник Рефераты и сочинения

Самоанализ урока

Курс: основы теории вероятностей и математической статистики.

Класс: 10-й, физико-математическое направление.

Тема урока: Независимые повторные испытания. Теорема Бернулли

Цели урока:

Обучающие:

Ознакомление учащихся со схемой Бернулли и отработка ее применения при решении задач.

Развивающие:

Формирование у учащихся единой научной картины мира и элементов научного мировоззрения путем исследования межпредметных связей теории вероятностей и различных наук;

Формирование вероятностно-статистического мышление учащихся;

Воспитательные:

Развитие самостоятельности и навыков самоконтроля.

Мотивация учащихся к изучению тем теории вероятностей.

Задачи :

• закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи;

  формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач,

  формировать навыки решения задач по формуле Бернулли,

  развивать основные мыслительные операции учащихся: умение сравнивать, анализировать.

Тип урока: комбинированный.

Данный материал имеет практическое применение, так как позволяет решать задачи, в которых один и тот же опыт повторяется неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие A, причем нас интересует не результат каждого опыта, а общее число появлений события A в серии опытов. На данном уроке ребята узнали формулу для решения таких задач, научились определять задачи, которые подходят под схему Бернулли и решаются по его теореме. Рационально распределено время на всех этапах урока. Темп урока соответствовал уровню развития и подготовленности учащихся.

Урок был задуман мною как диалог между учителем и учащимися, так как класс достаточно сильный. Урок способствовал формированию основных мировоззренческих идей, вероятностно-статистического мышления, умения выделять межпредметные связи. Ребята работали в группах, что позволяет развивать их познавательную и коммуникативную компетентность. Для того, чтобы в группах работали все, согласно своим возможностям и способностям, чтобы не терялся интерес к преподаваемой дисциплине, задания предложены разноуровневого характера Учащиеся на уроке проявляли активность, самостоятельно приходили к выводу. Содержание урока способствовало развитию интереса к учению, о чем свидетельствует рефлексивный этап урока. Презентация помогла сделать урок более интересным, сэкономить время для конспектирования нового и систематизации материала.

Пример синквейна:

1. Теорема Бернулли
Новая, интересная.
Познакомились, поняли, заинтересовались.
Позволяет находить вероятность

В реальности.

2. О, испытания,

Независимые повторные

Разберем, поймем и вычислим

И поможет нам в этом, естественно,

Теорема Бернулли

Цели, поставленные на уроке, достигнуты.

«Элементы математической статистики» - Доверительный интервал. Наука. Классификация гипотез. Детали изготавливаются на разных станках. Правила проверки. Корреляционная зависимость. Зависимость. Совокупность значений критерия. Найти доверительный интервал. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Нормальное распределение.

«Вероятность и математическая статистика» - Точность полученных значений. Шифр для сейфа. Описательная статистика. Яблоко. Рассмотрим события. Правило умножения. Два стрелка. Сравнение учебных программ. Карамель. Примеры столбчатых диаграмм. Отметки по математике. Правило умножения для трех. Белые и красные розы. 9 разных книг. Зимние каникулы.

«Основы математической статистики» - Условная вероятность. Таблица стандартизованных значений. Свойства распределения Стьюдента. Доверительный интервал математического ожидания. Выборочное среднее. Распределение. Одно испытание можно рассматривать как серию из одного испытания. Квантиль – левее должно располагаться кол-во значений, соответствующее индексу квантили.

«Теория вероятности и статистика» - Границы интервала. Критические области. Теорема умножения вероятностей. Распределение нормальной случайной величины. Вывод формулы Бернулли. Законы распределения случайных величин. Формулировка ЗБЧ. Смысл и формулировка центральной предельной теоремы. Связь номинальных признаков. Стохастическая зависимость двух случайных величин.

«Статистическое исследование» - Актуальность. Статистические характеристики и исследования. План. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Виды статестического наблюдения. Нравится ли тебе заниматься изучением математики. Рассмотрим ряд чисел. Кто тебе помогает разобрать трудную тему по математике. Нужна ли математика в будущей вашей профессии.

«Основные статистические характеристики» - Основные статистические характеристики. Найдите среднее арифметическое. Петроний. Размах. Мода ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Размах ряда. Медиана ряда. Статистика. Медиана. Школьные тетради.

Всего в теме 17 презентаций

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обозначим эти вероятности как p и q . Исход с вероятностью p будем называть “успехом”, а исход с вероятностью q – “неудачей”.

Очевидно, что

Пространство элементарных событий для каждого испытания состоит из двух точек. Пространство элементарных событий для n испытаний Бернулли содержит точек, каждая из которых представляет один возможный исход составного опыта. Поскольку испытания независимы, то вероятность последовательности событий равна произведению вероятностей соответствующих исходов. Например, вероятность последовательности событий

{У, У, Н, У, Н, Н, Н}

равна произведению

Примеры испытаний Бернулли.

1. Последовательные бросания “правильной” монеты. В этом случае p = q = 1/2 .

При бросании несимметричной монеты соответствующие вероятности изменят свои значения.

2. Каждый результат опыта можно рассматривать как A или .

3. Если существует несколько возможных исходов, то из них можно выделить группу исходов, которые рассматриваются как “успех”, называя все прочие исходы “неудачей”.

Например, при последовательных бросаниях игральной кости под “успехом” можно понимать выпадение 5, а под “неудачей” – выпадение любого другого числа очков. В этом случае p = 1/6, q = 5/6.

Если же под “успехом” понимать выпадение четного, а под “неудачей” – нечетного числа очков, то p = q = 1/2 .

4. Повторные случайные извлечения шара из урны, содержащей при каждом испытании a белых и b черных шаров. Если под успехом понимать извлечение белого шара, то , .

Феллер приводит следующий пример практического применения схемы испытаний Бернулли. Шайбы, изготовляемые при массовом производстве, могут отличаться по толщине, но при проверке они классифицируются на годные и дефектные – в зависимости от того, находится ли толщина в предписанных границах. И хотя продукция по многим причинам не может вполне соответствовать схеме Бернулли, эта схема задает идеальный стандарт для промышленного контроля качества продукции, несмотря даже на то, что этот стандарт никогда не достигается вполне точно. Машины подвержены изменениям, и поэтому вероятности не остаются одними и теми же; в режиме работы машин имеется некоторое постоянство, в результате чего длинные серии одинаковых отклонений оказываются более вероятными, чем это было бы при действительной независимости испытаний. Однако с точки зрения контроля качества продукции желательно, чтобы процесс соответствовал схеме Бернулли, и важно то, что в некоторых пределах этого можно добиться. Целью текущего контроля является обнаружение уже на ранней стадии существенных отступлений от идеальной схемы и использование их как указаний на угрожающее нарушение правильности работы машины.

Формула Бернулли

Беляева Т.Ю. ГБПОУ КК«АМТ» г. Армавир Преподаватель математики

• Один из основателей теории вероятностей и математического анализа

• Иностранный член Парижской Академии наук (1699) и Берлинской академии наук (1701)

Старший брат Иоганна Бернулли (самый знаменитый представитель семейства Бернулли)

Якоб Бернулли (1654 – 1705)

швейцарский математик

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность того, что произойдет событие А, равна р , а следовательно, вероятность того, что оно не произойдет, равна q = 1 - p .

Требуется найти вероятность того, что при п последовательных испытаниях событие А произойдет ровно т раз.

Искомую вероятность обозначим р п ( т ) .

Очевидно, что

р 1 (1) = p, р 1 (0) = q

р 1 (1) + р 1 (0) = p + q = 1

• При двух испытаниях:

возможны 4 исхода:

р 2 (2) = р 2 ; р 2 (1) = 2р·q; р 2 (0) = q 2

р 2 (2) + р 2 (1) + р 2 (0) = (p + q) 2 = 1

• При трех испытаниях:

возможны 8 исходов:

Получаем:

р 3 (2) = 3р 2 ·q

р 3 (1) = 3pq 2

р 3 (3) + р 3 (2) + р 3 (1) + р 3 (0) = (p + q) 3 = 1

Задача 1.

Монету бросают 8 раз. Какова вероятность, что 4 раза выпадет «герб»?

Задача 2.

В урне 20 шаров: 15 белых и 5 черных. Вынули подряд 5 шаров, причем каждый вынутый шар возвращался в урну перед извлечением следующего шара. Найти вероятность того, что из пяти вынутых шаров будет 2 белых.

Формулы для нахождения вероятность того, что в п испытаниях событие наступит :

а) менее т раз

р п (0) + … + р п (т-1)

б) более т раз

р п (т+1) + … + р п (п)

в) не более т раз

р п (0) + … + р п (т)

г) не менее т раз

р п (т) + … + р п (п)

Задача 3.

Вероятность изготовления на станке-автомате нестандартной детали равна 0,02. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых шести деталей окажутся более 4-х стандартных.

Событие А - « более 4-х стандартных деталей » (5 или 6) означает

« не более 1 –й бракованной детали » (0 или 1)

Пусть производится п независимых испытаний. При каждом таком испытании событие А может произойти или не произойти. Известна вероятность появления события А.

Требуется найти такое число μ (0, 1, …, n), для которого вероятность Р n (μ) будет наибольшей.

Задача 4.

Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 31%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случае отбора партии из 75 изделий?

По условию: n = 75, p = 0,31, q = 1 - 0,31 = 0,69

Задача 6.

Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго – 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.

По условию: n = 25, p = 0,2·0,4 = 0,08, q = 0,92

Разделы: Математика

Цели:

• формирование вероятностно-статистическое мышление учащихся;
• мотивация учащихся к изучению тем теории вероятностей;
• ознакомление с применением формулы Бернулли при решении задач.

Задачи :

• закрепить знания и умения решать комбинаторные задачи;
• формировать навыки применения схемы Бернулли при решении задач,
• формировать навыки решения задач по формуле Бернулли,
• развивать основные мыслительные операции учащихся: умение сравнивать, анализировать.

Тип урока: изучение нового материала.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: компьютер, презентация.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний

Вспомним основные понятия и формулы комбинаторики.

1. Что называется факториалом числа n? (Это произведение первых натуральных n чисел от 1 до n.)
2. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на полке? (3! = 3 · 2 · 1. Это число перестановок из 3 элементов.)
3. Сколькими способами можно распределить I, II, III места между 7 участниками соревнования? (7 · 6 · 5 = 210. Это число размещений из 7 элементов по 3.)
4. Сколькими способами можно составить график дежурства 3 учащихся из 5?

(Сообщение темы, целей и задач урока)